Matematyczny ekspert Benoît Mandelbrot był odpowiedzialny za opracowanie, w 1975 r., Koncepcji fraktala, która pochodzi od łacińskiego słowa fractus (można przetłumaczyć jako "zepsuty" ). Termin stworzony przez Francuzów został wkrótce zaakceptowany przez społeczność naukową i jest już częścią słownika Royal Spanish Academy (RAE) .

Fraktal to postać, która może być przestrzenna lub płaska, utworzona przez nieskończone składniki. Jego główną cechą jest to, że jego wygląd i sposób rozkładu statystycznego nie zmienia się, nawet gdy skala zastosowana w obserwacji jest zmodyfikowana.

Dlatego fraktale są elementami sklasyfikowanymi jako pół-geometryczne (ze względu na ich nieregularność nie należą do tradycyjnej geometrii ), które mają istotną strukturę, która jest powtarzana w różnych skalach.

Fraktal może być stworzony przez człowieka, nawet z artystycznymi intencjami, chociaż istnieją również naturalne struktury, które są fraktalami (jak płatki śniegu).

Według Mandelbrota fraktale mogą przedstawiać 3 różne rodzaje samopodobieństwa, co oznacza, że ​​części mają taką samą strukturę jak cały zestaw :

* dokładne samopodobieństwo, fraktal jest identyczny w dowolnej skali;
* quasi-odpowiedniość, ze zmianą skali kopie zbioru są bardzo podobne, ale nie identyczne;
* Statystyczne samopodobieństwo, fraktal musi mieć wymiary statystyczne lub liczbowe, które są zachowane wraz ze zmianą skali.

Techniki fraktalne są używane na przykład do kompresowania danych . Za pomocą twierdzenia o kolażu można znaleźć IFS (system funkcji iterowanych), który obejmuje zmiany, które występują w całej figurce w każdym z jej samopodobnych fragmentów. Kiedy informacja jest zakodowana w IFS, możliwe jest przetworzenie obrazu.

Mówimy o muzyce fraktalnej, kiedy dźwięk jest generowany i powtarzany zgodnie ze wzorami spontanicznego zachowania, które bardzo często występują w przyrodzie. Należy wspomnieć, że istnieją programy komputerowe zdolne do tworzenia kompozycji tego typu bez interwencji człowieka.

Zestaw Cantora często cytowany jest w odniesieniu do fraktali, choć nie jest to poprawne. Jego definicja, która zwykle wywołuje takie zamieszanie, jest następująca: weź segment i podziel go na trzy, a następnie usuń środek i powtórz to działanie w nieskończoność z resztą.

Wymiar fraktalny

Klasyczna geometria nie jest wystarczająco szeroka, aby objąć pojęcia potrzebne do zmierzenia różnych fraktalnych form. Jeśli weźmiemy pod uwagę, że są to elementy, których wielkość zmienia się nieustannie, nie jest łatwo, na przykład, obliczyć ich długość. Powodem jest to, że jeśli spróbujesz zmierzyć linię fraktalną za pomocą tradycyjnej jednostki, zawsze będą elementy, które są tak małe i cienkie, że nie można ich precyzyjnie odgraniczać.

Na krzywej Kocha, wykreślonej z prawej strony, widać, że od urodzenia jedna trzecia rośnie na każdym kroku; innymi słowy, długość części, która znajduje się na początku, wzrasta bez końca, określając, że każda krzywa wynosi 4/3 poprzedniej.

Ponieważ długość linii fraktalnej i linii instrumentu pomiarowego lub wybranej jednostki miary są bezpośrednio ze sobą powiązane, używanie tego pojęcia jest absurdem. Właśnie dlatego powstała koncepcja wymiaru fraktalnego, która pozwala, gdy mówimy o liniach fraktalnych, wiedzieć, w jaki sposób lub w jakim stopniu zajmują one część płaszczyzny .

W odniesieniu do tradycyjnej geometrii segment ma jeden wymiar, jeden okrąg, dwie i jedną sferę, trzy. Ponieważ linia fraktalna nie obejmuje całej płaszczyzny, powinna mieć wymiar, który nie osiąga dwóch.